TRIGONOMETRI : SUDUT, DERAJAT, RADIAN (MATEMATIKA KELAS 10)

Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, yaitu trigonon (segitiga) dan metria (pengukuran). Jadi pada dasarnya trigonometri digunakan untuk perhitungan panjang sisi-sisi dan besar sudut-sudut pada segitiga. Trigonometri sangat membantu dalam pengukuran-pengukuran yang sangat sulit dilakukan atau malah terasa mustahil dilakukan. Misalnya penghitungan jarak bumi dengan bulan, pemetaan gua dan lain sebagainya. Dalam trigonometri kita akan menemukan hubungan antara sudut-sudut dan panjang atau jarak sisi-sisi segitiga. Hal tersebut yang akan membuat kita dengan mudah dapat melakukan perhitungan sulit seperti permasalahan yang disebutkan di atas. Sebelum kita membahas lebih jauh tentang trigonometri, kita perlu mempelajarai tentang sudut terlebih dahulu.

Sudut

Dalam trigonometri sudut dibentuk oleh putaran sebuah sinar garis yang berpusat di titik pangkalnya (Gb. Tgr 1). Sudut yang dibentuk dengan memutar sinar garis berlawanan arah jarum jam merupakan sudut positif (Gb. Tgr 2). Sedangkan sudut yang dibentuk dengan memutar sinar garis searah jarum jam merupakan sudut negatif (Gb. Tgr 3).

Bentuk Sudut

Ukuran suatu sudut merupakan besarnya putaran dengan pusat sudut di titik sudut yang diperlukan untuk memindahkan sinar garis dari sisi awal ke sisi terminal. Bisa dilihat kembali pada gambar di atas, sinar garis OA merupakan sisi awal dan sinar garis OB merupakan sisi terminal. Untuk mengukur satuan sudut dapat dilakukan dengan beberapa sistem, yaitu sistem seksagesimal, sistem radian dan sistem sentisimal.

1. Sistem Seksagesimal

Sistem seksagesimal membagi satu putaran penuh menjadi 360 bagian yang sama. Pembagian ini menggunakan satuan derajat (⁰). Sehingga satu putaran penuh senilai dengan 360 derajat (360⁰).

Jika kita membagi sudut 1⁰ menjadi 60 bagian yang sama, maka kita akan mendapatkan sudut dalam satuan menit (‘). Jika kita membagi sudut 1’ menjadi 60 bagian yang sama maka kita akan mendapatkan sudut dalam satuan detik (”).

satu putaran dalam derajat

1 putaran = 360⁰ ⇔ 1⁰ = $\frac{1}{360}putaran$

1⁰=60’                  ⇔ 1’ = $\frac{1}{60^{\circ }}$

1’=60”                 ⇔ 1”= $\frac{1}{60^{'}}$

1⁰=3600”             ⇔ 1” = $\frac{1}{3600^{\circ }}$

2. Sistem Radian

Ukuran sudut dalam radian banyak digunakan dalam matematika terapan. Satuan sudut dalam radian dihitung dengan membandingkan panjang busur didepan sudut dengan panjang jari-jari lingkarannya. Secara umum, jika panjang busur $AB=s$ dan panjang jari-jari lingkarannya $r$, maka besar sudut pusat lingkaran yang menghadap busur $AB$ adalah $\alpha =\frac{s}{r}$ radian (Gb. Tgr 5). Ukuran satu (1) radian akan diperoleh ketika panjang busur di depan sudut sama panjang dengan jari-jari lingkarannya.

Sudut dalam radian

satu radian

Untuk satu putaran penuh, panjang busurnya menunjukkan sama panjang dengan keliling lingkarannya, karena keiling lingkaran $K=2\pi r$ maka panjang busur $s=2\pi r$. Sehingga diperoleh sudut dalam satu putaran sebesar $\alpha =\frac{s}{r}=\frac{K}{r}=\frac{2\pi r}{r}=2\pi $ dalam satuan radian.

satu putaran dalam radian

3. Sistem Sentisimal

Sistem sentisimal membagi satu putaran penuh mendaji 400 bagian yang sama besar. Dalam sistem ini menggunakan satuan gradian, sehingga satu putaran penuh senilai dengan 400 gradian.

Hubungan Antara Satuan Derajat dan Radian

Apakah ada hubungan antara derajat dan radian? Jawabannya adalah ada. Untuk menemukan hubungan ini, kita bisa membandingkan ukuran derajat dan radian untuk sudut satu putaran penuh. Silahkan amati kembali Gb. Tgr 4 dan Gb. Tgr 7, terlihat bahwa satu putaran dalam derajat dan satu putaran dalam radian besarnya sama sehingga bisa diperoleh:

$1 putaran (derajat)=1 putaran (radian)$

$360^{\circ }=2\pi $

Jika kita bagi kedua ruas pada persamaan di atas dengan 2, maka kita peroleh:

$180^{\circ }=\pi$

Dengan membagi persamaan $180^{\circ }=\pi$ dengan 180 atau $\pi$ kita akan memperoleh konversi dari derajat ke radian atau sebaliknya dengan nilai sebagi berikut:

$1^{\circ}=\frac{\pi }{180}rad$

atau

$1 rad=\left ( \frac{180}{\pi } \right )^{\circ }$

Sehingga jika kita ingin merubah sudut dari satuan derajat ke radian, kita tinggal kalikan saja dengan $\frac{\pi }{180}rad$. Sedangkan jika kita ingin merubah sudut dari satuan radian ke derajat, kita tinggal kalikan saja dengan $\left ( \frac{180}{\pi } \right )^{\circ }$.

Contoh Soal:

1. Ubahlah ukuran $112^{\circ }54'36"$ menjadi bentuk derajat desimal!

2. Nyatakan sudut $76,12^{\circ }$ ke dalam bentuk derajat, menit dan detik!

3. Ubahlah sudut $45^{\circ}$ ke dalam satuan radian!

4. Ubahlah sudut $\frac{\pi}{3}rad$ ke dalam satuan derajat!

Pembahasan:

1. Kita akan merubah satuan menit dan detik ke satuan derajat

satuan menit

$54'=\left ( 54\cdot\frac{1}{60} \right )^{\circ }=\left ( \frac{54}{60} \right )^{\circ }=0,9^{\circ }$

satuan detik

$36"=\left ( 36\cdot\frac{1}{3600} \right )^{\circ }=\left ( \frac{36}{3600} \right )^{\circ }=0,01^{\circ }$

Sehingga

$112^{\circ }54'36"=\left ( 112+0,9+0,01 \right )^{\circ }=112,91^{\circ }$

2. Pertama kita akan merubah $0,12^{\circ}$ menjadi satuan menit. Telah kita ketahui bahwa $1^{\circ}=60'$, sehingga:

$0,12^{\circ}=\left ( 0,12\cdot60 \right )'=7,2'$

Sehingga $76,12^{\circ }=76^{\circ}7,2'$. Selanjutnya kita ubah $0,2'$ menjadi detik. Telah kita ketahui bahwa $1'=60"$, sehingga:

$0,2'=\left ( 0,2\cdot 60 \right )"=12"$

Jadi $76,12^{\circ }=76^{\circ }7'12"$

3. Karena $1^{\circ}=\frac{\pi}{180}rad$ maka untuk mengonversi derajat ke radian kita kalikan $\frac{\pi }{180}$, sehingga:

$45^{\circ}=45\left (\frac{\pi }{180} \right )rad=\frac{\pi }{4}rad$

4. Karena $1rad=\left ( \frac{180}{\pi } \right )^{\circ }$ maka untuk mengonversi radian ke derajat kita kalikan $\frac{180}{\pi}$, sehingga:

$\frac{\pi}{3}rad=\left ( \frac{\pi }{3} \right )\left ( \frac{180}{\pi } \right )^{\circ }=60^{\circ }$

Terus belajar sampai akhir hayat.

Salam Digama Academy