EKSPONEN: PENGERTIAN, BENTUK UMUM DAN SIFAT-SIFATNYA

Pengertian Eksponen

Eksponen merupakan metode dalam menulis bilangan real. Ada banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang melibatkan eksponen. Contohnya, dalam perhitungan ilmiah yang dilakukan oleh peneliti, diketahui bahwa jarak antara bumi dan matahari kira-kira adalah $1,5 \times 10^8$ km. Jika jarak ini ditulis tanpa menggunakan eksponen, maka akan melibatkan angka 0 yang sangat banyak, apalagi jika satuannya diubah dalam meter, centimeter atau milimeter.

Bentuk Umum Eksponen

Eksponen merupakan suatu bentuk perkalian dengan bilangan yang sama dan diulang-ulang atau perkalian yang diulang-ulang terhadap bilangan yang sama. Jika $p$ merupakan bilangan real dan $n$ bilangan bulat positif, bilangan $p$ pangkat $n$ ditulis $p^n$ didefinisikan:
$p^n=\underset{sebanyak \ n \ kali}{\underbrace{p\times p\times p\times ... \times p}}$
dengan:
$p=$ bilangan pokok atau basis
$n=$ pangkat atau eksponen

Sifat-sifat Eksponen

Ada beberapa sifat eksponen. Misalkan $p$ merupakan bilangan real, $m$ dan $n$ bilangan bulat positif, maka berlaku:

Sifat 1:

$p^m\times p^n=p^{m+n}$
Sifat ini dapat dibuktikan sebagai berikut:
$p^m\times p^n=(\underset{sebanyak \ m \ kali}{\underbrace{p\times p \times p \times ... \times p}})(\underset{sebanyak \ n \ kali}{\underbrace{p\times p \times p \times ... \times p}})$
$p^m\times p^n=\underset{sebanyak \ m+n \ kali}{\underbrace{p\times p \times p \times ... \times p}}$
$p^m \times p^n=p^{m+n}$

Contoh:

$ 2^{3} \times 2^{4} = 2^{3+4} \\ 2^{3} \times 2^{4} = 2^{7} $

Sifat 2:

$ \frac {p^m}{p^n} = p^{m-n} \\ $ Sifat ini dapat dibuktikan sebagai berikut:
$ \frac {p^m}{p^n} = \frac { \overset{sebanyak \ m \ kali}{\overbrace{p\times p \times p \times ... \times p}}}{ \underset{sebanyak \ m \ kali}{\underbrace{p\times p \times p \times ... \times p}}} \\ \frac {p^m}{p^n} = \underset{sebanyak \ m-n \ kali}{\underbrace{p\times p \times p \times ... \times p}} \\ \frac {p^m}{p^n} = p^{m-n} $

Contoh:

$ \frac{3^9}{3^5}=3^{9-5} \\ \frac{3^9}{3^5}=3^4 $

Sifat 3:

$ (p^m)^{n}=p^{mn} \\ $ Sifat ini dapat dibuktikan sebagai berikut:
$ (p^m)^{n}= \underset{sebanyak \ n \ kali}{\underbrace{p^m\times p^m \times p^m \times ... \times p^m}} \\ (p^m)^{n}=\underset{sebanyak \ n \ kali}{\underbrace{\underset{m \ kali}{\underbrace{(p \times p \times ... \times p)}}\underset{m \ kali}{\underbrace{(p \times p \times ... \times p)}}...\underset{m \ kali}{\underbrace{(p \times p \times ... \times p)}}}} \\ (p^m)^{n}= \underset{sebanyak \ m\cdot n \ kali}{\underbrace{p \times p \times p \times ... \times p}} \\ (p^m)^{n}=p^{mn} $

Sifat 4:

$ p^{\frac {m}{n}}=\sqrt[n]{p^m} \\ $ Sifat ini dapat dibuktikan sebagai berikut:
Untuk $p$ bilangan real dan $p \geq 0$, berdasar sifat 3 berlaku:
$ (p^{\frac{1}{n}})^{n}=p \Leftrightarrow p^{\frac {1}{n}}=\sqrt[n]{p} \\ $ Sehingga
$ \sqrt[n]{p^m}=\sqrt[n]{\underset{m \ kali}{\underbrace{p \times p \times p \times ... \times p}}} \\ \sqrt[n]{p^m}=\underset{m \ kali}{\underbrace{\sqrt[n]{p} \times \sqrt[n]{p} \times \sqrt[n]{p} \times ... \times \sqrt[n]{p}}} \\ \sqrt[n]{p^m}=\underset{m\ kali}{\underbrace{p^{\frac {1}{n}} \times p^{\frac {1}{n}} \times p^{\frac {1}{n}} \times ... \times p^{\frac {1}{n}}}} \\ \sqrt[n]{p^m}=(p^{\frac {1}{n}})^{m} \\ \sqrt[n]{p^m}=p^{\frac {m}{n}} \\ $

Sifat 5:

$ p^{0}=1 $, dengan $p \neq 0 $
Sifat ini dapat dibuktikan sebagai berikut:
$ p^{0}=p^{n-n} \\ p^{0}=\frac{p^{n}}{p^{n}}\\ p^{0}=1 \\ $

Sifat 6:

$ p^{-n}=\frac {1}{p^{n}} $, dengan $p \neq 0 $
Sifat ini dapat dibuktikan sebagai berikut:
$ p^{-n}=p^{0-n} \\ p^{-n}=\frac {p^0}{p^n} \\ p^{-n}=\frac {1}{p^n} \\ $

Sifat 7:

$ (p \cdot q)^{n}= p^n \cdot q^n \\ $ Sifat ini dapat dibuktikan sebagai berikut:
$ (p \cdot q)^{n}= \underset{n \ kali}{\underbrace{(p \cdot q)(p \cdot q)(p \cdot q)...(p \cdot q)}} \\ (p \cdot q)^{n}= \underset{n \ kali}{\underbrace{(p \cdot p \cdot p \cdot ... \cdot p)}} \underset{n \ kali}{\underbrace{(q \cdot q \cdot q \cdot ... \cdot q)}} \\ (p \cdot q)^{n}= p^n \cdot q^n \\ $

Sifat 8:

$ (\frac {p}{q})^{n}=\frac {p^n}{q^n} \\ $ Sifat ini dapat dibuktikan sebagai berikut:
$ (\frac {p}{q})^{n}=\underset{n \ kali}{\underbrace{\frac {p}{q}\times \frac {p}{q} \times \frac {p}{q}\times ... \times \frac {p}{q}}} \\ (\frac {p}{q})^{n}=\frac{\overset{n \ kali}{\overbrace{p \times p \times p \times ... \times p}}}{\underset{n \ kali}{\underbrace{p \times p \times p \times ... \times p}}} \\ (\frac {p}{q})^{n}=\frac {p^n}{q^n} \\ $

Latihan Soal

1. Tentukan hasil dari:
1. $ 2^{10} \cdot 2^{-3} \cdot 8^{-2} $
2. $ \frac{6^{2}\cdot 2^{-5}}{12^{-2}} $
3. $ 16x^{-3} $ jika dikethui $x=2 $
2. Sederhanakan bentuk berikut ke dalam bentuk pangkat positif!
1. $ (a^3)^{2} \cdot b^{4} \cdot b^{-5} $
2. $ \frac{x^{3}(y^{2})^{-3}}{xy^{-6}} $

Pembahasan

Pembahasan soal 1a:

$ 2^{10} \cdot 2^{-3} \cdot 8^{-2}=2^{10+(-3)} \cdot (2^{3})^{-2} \\ 2^{10} \cdot 2^{-3} \cdot 8^{-2}=2^{7} \cdot 2^{-6} \\ 2^{10} \cdot 2^{-3} \cdot 8^{-2}=2^{7+(-6)} \\ 2^{10} \cdot 2^{-3} \cdot 8^{-2}=2^{1} \\ 2^{10} \cdot 2^{-3} \cdot 8^{-2}=2 $

Pembahasan soal 1b:

$ \frac{6^{2}\cdot 2^{-5}}{12^{-2}}=\frac {(2 \cdot 3)^{2} \cdot 2^{-5}}{(2^{2} \cdot 3)^{-2}} \\ \frac{6^{2}\cdot 2^{-5}}{12^{-2}}=\frac {2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2^{-5}}{2^{-4} \cdot 3^{-2}} \\ \frac{6^{2}\cdot 2^{-5}}{12^{-2}}=2^{2+(-5)-(-4)} \cdot 3^{2-(-2)} \\ \frac{6^{2}\cdot 2^{-5}}{12^{-2}}=2^{1} \cdot 3^{4} \\ \frac{6^{2}\cdot 2^{-5}}{12^{-2}}=2 \cdot 81 \\ \frac{6^{2}\cdot 2^{-5}}{12^{-2}}=162 $

Pembahasan Soal 1c:

$ 16x^{-3} $ jika dikethui $x=2$
$ 16x^{-3}=16(2)^{-3} \\ 16x^{-3}=\frac {16}{2^{3}} \\ 16x^{-3}=\frac {16}{8} \\ 16x^{-3}=2 $

Pembahasan Soal 2a:

$ (a^3)^{2} \cdot b^{4} \cdot b^{-5}=a^{6} \cdot b^{4+(-5)} \\ (a^3)^{2} \cdot b^{4} \cdot b^{-5}=a^{6} \cdot b^{-1} \\ (a^3)^{2} \cdot b^{4} \cdot b^{-5}=\frac {a^{6}}{b} $

Pembahasan Soal 2b:

$ \frac{x^{3}(y^{2})^{-3}}{xy^{-6}}=\frac{x^{3}y^{-6}}{xy^{-6}} \\ \frac{x^{3}(y^{2})^{-3}}{xy^{-6}}=x^{3-1}y^{-6-(-6)} \\ \frac{x^{3}(y^{2})^{-3}}{xy^{-6}}=x^{2}y^{0} \\ \frac{x^{3}(y^{2})^{-3}}{xy^{-6}}=x^{2} \cdot 1 \\ \frac{x^{3}(y^{2})^{-3}}{xy^{-6}}=x^{2} $