Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer

PERSAMAAN EKSPONEN

Persamaan eksponen adalah suatu persamaan bilangan berpangkat yang mengandung variabel pada eksponen atau pangkatnya. Ada beberapa berntuk persamaan eksponen, diantaranya:

Bentuk $a^{f(x)}=a^p$

Jika $a^{f(x)}=a^p$; $a>0$; $a\neq 1$, maka $f(x)=p$

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari:
1. $2^{2x-1}=8$
2. $4^{x+4}=8^{2}$

Jawaban:

Jawaban Soal 1
$\begin{align} 2^{2x-1}&=8 \\ 2^{2x-1}&=2^3 \\ \therefore2x-1&=3 \\ 2x-1+1&=3+1 \\ 2x&=4 \\ \frac{2x}{2}&=\frac{4}{2} \\ x&=2 \end{align}$
Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah $\left\{ 2\right\}$
Jawaban Soal 2
$ \begin{align} 4^{x=4}&=8^2 \\ \left ( 2^{2} \right )^{x+4}&=\left ( 2^{3} \right )^{2} \\ 2^{2x+8}&=2^{6} \\ \therefore 2x+8&=6 \\ 2x+8-8&=6-8 \\ 2x&=-2 \\ \frac{2x}{2}&=\frac{-2}{2} \\ x&=-1 \end{align} $
jadi himpunan Penyelesaiannya adalah $\left\{ -1\right\}$

Bentuk $a^{f(x)}=a^{g(x)}$

Jika $a^{f(x)}=a^{g(x)}; a>0; a \neq 1$, maka $f(x)=g(x)$

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari:
1. $8^{2x+1}=128^{x-3}$
2. $9^{x^{2}+x}=27^{x^{2}-1}$

Jawaban:

Jawaban Soal 1
$ \begin{align} 8^{2x+1}&=128^{x-3} \\ (2^3)^{2x+1}&=(2^7)^{x-3} \\ 2^{6x+3}&=2^{7x-21} \\ \therefore 6x+3&=7x-21 \\ 6x+3+21&=7x-21+21 \\ 6x+24&=7x \\ 6x+24-6x&=7x-6x \\ 24&=x \end{align} $
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 24 \right \}$
Jawaban Soal 2
$ \begin{align} 9^{x^{2}+x}&=27^{x^{2}-1} \\ (3^2)^{x^{2}+x}&=(3^3)^{x^{2}-1} \\ 3^{2x^{2}+2x}&=3^{3x^{2}-3} \\ \therefore 2x^{2}+2x&=3x^{2}-3 \\ 2x^{2}+2x-2x^{2}-2x&=3x^{2}-3-2x^{2}-2x \\ 0&=x^{2}-2x-3 \\ 0&=(x-3)(x+1) \\ \therefore x-3=0 &\cup x+1=0 \\ x=3 &\cup x=-1 \end{align} $
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ -1,3 \right \}$

Bentuk $a^{f(x)}=b^{f(x)}$

Jika $a^{f(x)}=b^{g(x)}; a>0; b>0; a \neq 1; b \neq 1$, maka $f(x)=0$

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari:
1. $6^{x-3}=9^{x-3}$
2. $8^{x-3}=3^{3x-9}$

Jawaban

Jawaban Soal 1
$ \begin{align} 6^{x-3}&=9^{x-3} \\ \therefore x-3&=0 \\ x&=3 \end{align} $
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 3 \right \}$
Jawaban Soal 2
$ \begin{align} 8^{x-3}&=3^{3x-9} \\ (2^3)^{x-3}&=3^{3x-9} \\ 2^{3x-9}&=3^{3x-9} \\ \therefore 3x-9&=0 \\ 3x-9+9&=0+9 \\ 3x&=9 \\ \frac {3x}{3}&=\frac {9}{3} \\ x&=3 \end{align} $
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 3 \right \}$

Bentuk $f(x)^{g(x)}=f(x)^{h(x)}$

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut akan ada beberapa kemungkinan penyelesaian, yaitu:
a. Kedua eksponennya bernilai sama yaitu $g(x)=h(x)$
b. Basisnya bernilai $1$
c. Basisnya bernilai $-1$ dengan syarat kedua eksponennya sama-sama ganjil atau sama-sama genap
d. Basisnya bernilai $0$ dengan syarat kedua eksponennya bernilai positif

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari:
$(3x-10)^{x^{2}}=(3x-10)^{2x}$

Jawaban

Eksponen bernilai sama
$ \begin{align} x^2&=2x \\ x^{2}-2x&=0 \\ x(x-2)&=0 \\ \therefore x=0&\cup x-2=0 \\ x=0&\cup x=2 \end{align} $
Basis bernilai $1$
$ \begin{align} 3x-10&=1 \\ 3x-10+10&=1+10 \\ 3x&=11 \\ \frac {3x}{3}&= \frac {11}{3} \\ x&= \frac {11}{3} \\ \end{align} $
Basisnya bernilai $-1$ dengan syarat kedua eksponennya sama-sama ganjil atau sama-sama genap
$ \begin{align} 3x-10&=-1 \\ 3x-10+10&=-1+10 \\ 3x&=9 \\ \frac {3x}{3}&=\frac {9}{3} \\ x&=3 \end{align} $
Akan diperiksa untuk $x=3$ apakah kedua eksponennya sama-sama ganjil atau sama-sama genap
Eksponen pertama
$ \begin{align} x^2&=(3)^2 \\ x^2&=9 \end{align} $ ... (ganjil)
Eksponen kedua
$ \begin{align} 2x&=2(3) \\ 2x&=6 \end{align} $ ... (genap)
terlihat bahwa untuk $x=3$ kedua eksponennya $tidak$ sama-sama ganjil atau sama-sama genap maka, $x=3$ tidak termasuk penyelesaian.
Basisnya bernilai $0$ dengan syarat kedua eksponennya bernilai positif
$ \begin{align} 3x-10&=0 \\ 3x-10+10&=0+10 \\ 3x&=10 \\ \frac {3x}{3}&= \frac {10}{3} \\ x&=\frac{10}{3} \end{align} $
Akan diperiksa untuk $x=\frac{10}{3}$ apakah kedua eksponennya bernilai positif
Eksponen pertama
$ \begin{align} x^2&=(\frac{10}{3})^2 \\ x^2&=\frac{100}{9} \end{align} $ ... (positif)
Eksponen kedua
$ \begin{align} 2x&=2(\frac{10}{3}) \\ 2x&=\frac {20}{3} \end{align} $ ... (positif)
terlihat bahwa untuk $x=\frac{10}{3}$ kedua eksponennya bernilai positif, maka $x=\frac{10}{3}$ termasuk penyelesaian.
Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 0,2,\frac {10}{3}, \frac {11}{3} \right \}$

Posting Komentar untuk "PERSAMAAN EKSPONEN"