PERSAMAAN EKSPONEN
Persamaan eksponen adalah suatu persamaan bilangan berpangkat yang mengandung variabel pada eksponen atau pangkatnya. Ada beberapa berntuk persamaan eksponen, diantaranya:
1. $2^{2x-1}=8$
2. $4^{x+4}=8^{2}$
Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah $\left\{ 2\right\}$
jadi himpunan Penyelesaiannya adalah $\left\{ -1\right\}$
1. $8^{2x+1}=128^{x-3}$
2. $9^{x^{2}+x}=27^{x^{2}-1}$
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 24 \right \}$
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ -1,3 \right \}$
1. $6^{x-3}=9^{x-3}$
2. $8^{x-3}=3^{3x-9}$
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 3 \right \}$
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 3 \right \}$
a. Kedua eksponennya bernilai sama yaitu $g(x)=h(x)$
b. Basisnya bernilai $1$
c. Basisnya bernilai $-1$ dengan syarat kedua eksponennya sama-sama ganjil atau sama-sama genap
d. Basisnya bernilai $0$ dengan syarat kedua eksponennya bernilai positif
$(3x-10)^{x^{2}}=(3x-10)^{2x}$
Akan diperiksa untuk $x=3$ apakah kedua eksponennya sama-sama ganjil atau sama-sama genap
Eksponen pertama
$ \begin{align} x^2&=(3)^2 \\ x^2&=9 \end{align} $ ... (ganjil)
Eksponen kedua
$ \begin{align} 2x&=2(3) \\ 2x&=6 \end{align} $ ... (genap)
terlihat bahwa untuk $x=3$ kedua eksponennya $tidak$ sama-sama ganjil atau sama-sama genap maka, $x=3$ tidak termasuk penyelesaian.
Akan diperiksa untuk $x=\frac{10}{3}$ apakah kedua eksponennya bernilai positif
Eksponen pertama
$ \begin{align} x^2&=(\frac{10}{3})^2 \\ x^2&=\frac{100}{9} \end{align} $ ... (positif)
Eksponen kedua
$ \begin{align} 2x&=2(\frac{10}{3}) \\ 2x&=\frac {20}{3} \end{align} $ ... (positif)
terlihat bahwa untuk $x=\frac{10}{3}$ kedua eksponennya bernilai positif, maka $x=\frac{10}{3}$ termasuk penyelesaian.
Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 0,2,\frac {10}{3}, \frac {11}{3} \right \}$
Bentuk $a^{f(x)}=a^p$
Jika $a^{f(x)}=a^p$; $a>0$; $a\neq 1$, maka $f(x)=p$Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari:1. $2^{2x-1}=8$
2. $4^{x+4}=8^{2}$
Jawaban:
Jawaban Soal 1
$\begin{align} 2^{2x-1}&=8 \\ 2^{2x-1}&=2^3 \\ \therefore2x-1&=3 \\ 2x-1+1&=3+1 \\ 2x&=4 \\ \frac{2x}{2}&=\frac{4}{2} \\ x&=2 \end{align}$Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah $\left\{ 2\right\}$
Jawaban Soal 2
$ \begin{align} 4^{x=4}&=8^2 \\ \left ( 2^{2} \right )^{x+4}&=\left ( 2^{3} \right )^{2} \\ 2^{2x+8}&=2^{6} \\ \therefore 2x+8&=6 \\ 2x+8-8&=6-8 \\ 2x&=-2 \\ \frac{2x}{2}&=\frac{-2}{2} \\ x&=-1 \end{align} $jadi himpunan Penyelesaiannya adalah $\left\{ -1\right\}$
Bentuk $a^{f(x)}=a^{g(x)}$
Jika $a^{f(x)}=a^{g(x)}; a>0; a \neq 1$, maka $f(x)=g(x)$Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari:1. $8^{2x+1}=128^{x-3}$
2. $9^{x^{2}+x}=27^{x^{2}-1}$
Jawaban:
Jawaban Soal 1
$ \begin{align} 8^{2x+1}&=128^{x-3} \\ (2^3)^{2x+1}&=(2^7)^{x-3} \\ 2^{6x+3}&=2^{7x-21} \\ \therefore 6x+3&=7x-21 \\ 6x+3+21&=7x-21+21 \\ 6x+24&=7x \\ 6x+24-6x&=7x-6x \\ 24&=x \end{align} $Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 24 \right \}$
Jawaban Soal 2
$ \begin{align} 9^{x^{2}+x}&=27^{x^{2}-1} \\ (3^2)^{x^{2}+x}&=(3^3)^{x^{2}-1} \\ 3^{2x^{2}+2x}&=3^{3x^{2}-3} \\ \therefore 2x^{2}+2x&=3x^{2}-3 \\ 2x^{2}+2x-2x^{2}-2x&=3x^{2}-3-2x^{2}-2x \\ 0&=x^{2}-2x-3 \\ 0&=(x-3)(x+1) \\ \therefore x-3=0 &\cup x+1=0 \\ x=3 &\cup x=-1 \end{align} $Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ -1,3 \right \}$
Bentuk $a^{f(x)}=b^{f(x)}$
Jika $a^{f(x)}=b^{g(x)}; a>0; b>0; a \neq 1; b \neq 1$, maka $f(x)=0$Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari:1. $6^{x-3}=9^{x-3}$
2. $8^{x-3}=3^{3x-9}$
Jawaban
Jawaban Soal 1
$ \begin{align} 6^{x-3}&=9^{x-3} \\ \therefore x-3&=0 \\ x&=3 \end{align} $Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 3 \right \}$
Jawaban Soal 2
$ \begin{align} 8^{x-3}&=3^{3x-9} \\ (2^3)^{x-3}&=3^{3x-9} \\ 2^{3x-9}&=3^{3x-9} \\ \therefore 3x-9&=0 \\ 3x-9+9&=0+9 \\ 3x&=9 \\ \frac {3x}{3}&=\frac {9}{3} \\ x&=3 \end{align} $Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 3 \right \}$
Bentuk $f(x)^{g(x)}=f(x)^{h(x)}$
Untuk menyelesaikan persamaan tersebut akan ada beberapa kemungkinan penyelesaian, yaitu:a. Kedua eksponennya bernilai sama yaitu $g(x)=h(x)$
b. Basisnya bernilai $1$
c. Basisnya bernilai $-1$ dengan syarat kedua eksponennya sama-sama ganjil atau sama-sama genap
d. Basisnya bernilai $0$ dengan syarat kedua eksponennya bernilai positif
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari:$(3x-10)^{x^{2}}=(3x-10)^{2x}$
Jawaban
Eksponen bernilai sama
$ \begin{align} x^2&=2x \\ x^{2}-2x&=0 \\ x(x-2)&=0 \\ \therefore x=0&\cup x-2=0 \\ x=0&\cup x=2 \end{align} $Basis bernilai $1$
$ \begin{align} 3x-10&=1 \\ 3x-10+10&=1+10 \\ 3x&=11 \\ \frac {3x}{3}&= \frac {11}{3} \\ x&= \frac {11}{3} \\ \end{align} $Basisnya bernilai $-1$ dengan syarat kedua eksponennya sama-sama ganjil atau sama-sama genap
$ \begin{align} 3x-10&=-1 \\ 3x-10+10&=-1+10 \\ 3x&=9 \\ \frac {3x}{3}&=\frac {9}{3} \\ x&=3 \end{align} $Akan diperiksa untuk $x=3$ apakah kedua eksponennya sama-sama ganjil atau sama-sama genap
Eksponen pertama
$ \begin{align} x^2&=(3)^2 \\ x^2&=9 \end{align} $ ... (ganjil)
Eksponen kedua
$ \begin{align} 2x&=2(3) \\ 2x&=6 \end{align} $ ... (genap)
terlihat bahwa untuk $x=3$ kedua eksponennya $tidak$ sama-sama ganjil atau sama-sama genap maka, $x=3$ tidak termasuk penyelesaian.
Basisnya bernilai $0$ dengan syarat kedua eksponennya bernilai positif
$ \begin{align} 3x-10&=0 \\ 3x-10+10&=0+10 \\ 3x&=10 \\ \frac {3x}{3}&= \frac {10}{3} \\ x&=\frac{10}{3} \end{align} $Akan diperiksa untuk $x=\frac{10}{3}$ apakah kedua eksponennya bernilai positif
Eksponen pertama
$ \begin{align} x^2&=(\frac{10}{3})^2 \\ x^2&=\frac{100}{9} \end{align} $ ... (positif)
Eksponen kedua
$ \begin{align} 2x&=2(\frac{10}{3}) \\ 2x&=\frac {20}{3} \end{align} $ ... (positif)
terlihat bahwa untuk $x=\frac{10}{3}$ kedua eksponennya bernilai positif, maka $x=\frac{10}{3}$ termasuk penyelesaian.
Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 0,2,\frac {10}{3}, \frac {11}{3} \right \}$
Posting Komentar untuk "PERSAMAAN EKSPONEN"